开普勒第二定律是角动量守恒的结果？中子星的自转角速度怎么估算？4 月 17 日 12 时，《张朝阳的物理课》第四十六期开播，搜狐创始人、董事局主席兼 CEO 张朝阳坐镇搜狐视频直播间，带着网友们复习了上一次直播课所介绍的角动量知识，并借助角动量守恒定律证明了开普勒第二定律，然后回到本次课程的最初目的，即科普中子星是怎么形成的，最终利用所介绍的角动量知识估算了中子星的旋转速度。

复习角动量定理 重温开普勒第二定律

直播开始后，张朝阳首先写出上次课程推导出来的质点系角动量定理：

这个定理应用于刚体的定轴转动可以得到非常简洁的形式。他把牛顿第二定律一并写下作为比较：

其中第一个式子是刚体定轴转动的角动量定理在转轴方向的分量的表达式，其中 τ 是外力矩，I 是刚体的转动惯量。第二个式子是质点的牛顿第二定律。张朝阳介绍说，这两个式子形式上非常相似。力矩在转动里起到类似力的作用，而转动惯量就则与质量类似，衡量转动改变的难易程度，也就是刚体的“转动惯性”。刚体定轴转动的情况下，转动惯量的公式为：

其中 r 是质量微元 dm 距离转轴的距离。此时，角动量的表达式为：

如果外力矩等于 0，那么角动量不随时间改变，这就是角动量守恒定律。对于理想刚体，角动量守恒表现为转动惯量和角速度的乘积不随时间改变。

(张朝阳通过角动量守恒证明开普勒第二定律)

角动量定理是普遍成立的，因此不仅可以用在刚体的运动上，还可以应用于中心力场的运动中。引力场作为典型的中心力场，角动量定理也能发挥重要作用。在质量为 M 的星球的引力场中，质量为 m 的质点受到的引力为：

那么质点受到的力矩为：

所以，质点的角动量不随时间变化。张朝阳继而推导质点的角动量表达式，具体地：

其中 v 是粒子的速度。以质点的轨迹平面为极坐标面、星球所在位置为原点，建立柱坐标系，那么粒子的速度矢量可以写为：

其中字母上方加一点表示对时间求一阶导数。将上式代入角动量公式后可得：

因此，mr^2dθ/dt 不随时间变化。

对这个结果，张朝阳进一步解释说，考虑质点和星球的连线，dθ 是这根线在 dt 时间内转过的角度，因此 r^2dθ/2 是这根线在 dt 时间内扫过的面积。换言之，这根连线在单位时间内扫过的面积为常数，这就是开普勒第二定律，它可以作为角动量守恒的简单推论。

恒星的演化与中子星的形成

复习完角动量定理，张朝阳把我们带回了最初的目的：计算中子星的旋转速度。对此，我们先来了解一下中子星的形成过程。

测量众多恒星的温度和光度，并绘制在一张图表上，从而反映恒星颜色与星等的分布特征，这有助于分析恒星的演化过程。该图被称为赫罗图（Hertzsprung-Russell diagram）。当恒星处在主序星阶段时，会根据自身质量而处于光度-温度图上一条特定的曲线附近，形成一个被称为主序带的带状图形。

(张朝阳展示的赫罗图)

恒星的质量越大，其表面温度越高，光度越大，同时寿命也越短。处于主序阶段的恒星都是通过氢核聚变成氦核获取能量，当恒星的燃料逐渐消耗殆尽时，它会逐步离开主序带。与太阳质量相当的恒星，在生命末期时，其外层会被推开，变成红巨星，并进一步形成行星状星云，而它的核心最后会变成白矮星。

白矮星是一种靠内部电子气体的简并压抗衡引力收缩的天体，它发出的光接近白色。而大于 8 倍太阳质量的恒星，生命末期会发生超新星爆发，并将大量的物质抛洒出来。超新星爆发会产生非常极端的物理环境，从而使原子序号排在铁原子之后的元素被创造出来。

太阳系中的重元素就来自于超新星爆发过程。太阳内部目前只能制造一些轻核，重核则来自于很久以前在附近发生的超新星爆发。超新星爆发也会留下一个致密的核心，这个核心的质量超过 1.4 倍太阳质量，导致电子简并压不足以抗衡引力的压缩，从而继续塌缩直到质子和电子反应成为中子，并由中子简并压来抵抗引力。处于这个阶段的天体就被称为中子星。如果这个核心的质量更大，使得中子简并压也无法抗衡引力，那么它就会进一步塌缩成为黑洞。

中子星内部原子结构不复存在，只靠核子紧密地挤压在一次。这导致中子星的体积极小，大约在 10 公里量级；同时它的质量又很大，大约为 2 倍太阳质量。于是中子星的密度极高，一小勺中子星物质就有好几亿吨。

恒星一般都存在自转。即使之前其自转速度很低，在形成中子星之后，由于体积急剧缩小、转动惯量也急剧变小，最终中子星的转速也会非常之高。这就像是花样滑冰运动员在转动时把手缩回来，从而提高了自转速度。

另一方面，中子星表面存在非常强的磁场，由于各种物理效应，中子星会沿磁极发生强烈的辐射，就像一个手电筒那样。中子星的磁极和旋转轴一般不重合，于是其辐射方向会不断地、快速地周期变化。从地球的角度来看，人们会观测到中子星不断地发射脉冲。当“手电筒”旋转指向地球时，会观测到一个脉冲峰值。这样的脉冲峰值会因中子星的自转而不断重复，这就是中子星作为脉冲星模型的由来。

估算中子星的自转角速度

接下来开始估算脉冲星的自转角速度。因为 8 至 15 倍太阳质量的恒星最后会形成中子星，张朝阳取典型情况，以恒星质量约为 10 倍太阳质量进行估算。由于恒星的质量大部分集中在内核，若把内核看成均匀球体，可以估算其核心质量大约是太阳核心的 10 倍，从而核心半径大约是太阳核心半径的两倍。

在超新星爆发之后，这个恒星内部的 1.5 倍太阳质量会变成中子星。在这里，张朝阳作了一个假定：超新星爆发时内部物质的角动量没有被传递出来，于是最终中子星的角动量就等于原来 1.5 倍太阳质量的内部物质的角动量。为了估算这部分角动量，就需要知道其转动惯量，所以接下来需要估算这 1.5 倍太阳质量的物质在恒星阶段的体积是多大。

由于这个恒星初始质量为 10 倍太阳质量，根据以前直播课程对太阳的介绍，可以估算这个恒星的内核大约为 5 倍太阳质量。而内核里 1.5 倍太阳质量的物质会变成中子星，占整个核心质量大约 1/3，于是可以估算这部分物质的半径大约是核心半径的 3 的三次方根分之一，也就是大约是核心半径的 0.6 (注：3 的三次方根分之一约等于 0.69，不过由于这里做的是估算，采用 0.6 同样合理)。

太阳核心半径约为 16 万公里，而前面估算 10 倍太阳质量的恒星，其核心半径约是太阳核心半径的 2 倍，于是可以估算得到恒星内 1.5 倍太阳质量物质对应的半径约为 0.6×2×16 万公里，约等于 20 万公里。

有了质量也有了半径，就可以估算它的转动惯量了。不过，张朝阳还通过另一种方法估算了这 1.5 倍太阳质量的核心物质的平均密度。因为恒星的能量来源主要是氢的聚变，这就决定了不同质量的恒星内核温度大致相同，而在恒星形成之初，氢核主要通过引力加速达到能产生核聚变的温度，于是：

其中 T 是核心温度，k 是玻尔兹曼常数，m_p 是质子质量，Mc 和 Rc 分别是核心质量和半径，ρ 上加一横表示核心的平均密度。由于不同质量的恒星内核温度大致相同，所以核心平均密度与核心半径的平方成反比。前面估算了 10 倍太阳质量的恒心的核心半径大约是太阳的核心半径的 2 倍，所以：

其中 ρ_sc 表示太阳核心的平均密度。由于 1.5 倍太阳质量的物质处于核心的里边，密度必然比平均密度高，所以张朝阳估算它的密度是整个核心平均密度的 2 倍，也就是 60g / cm^3。(注：根据前面估算的半径，计算得到的密度约为 90g / cm^3，比此处估算值大一半。后文将采用 60g / cm^3 的估算值进行计算。)

接下来估算这 1.5 倍太阳质量物质的转动惯量。转动惯量表达式中的 r 是柱坐标上的 r，不过为了简化计算，张朝阳将其看成是球坐标下的 r，于是：

其中下标 mc 表示与这 1.5 倍太阳质量的物质相关的量。

对于中子星，根据目前天体物理的认识，张朝阳估算中子星核心密度约为表面密度的 1/4，而且密度从内到外线性变化，用 ρ_nc 表示中子星中心密度，于是中子星密度分布为：

其中 R 是中子星半径。这样可以估算中子星的转动惯量为：

那么根据角动量守恒，可以估算得到中子星的自转角速度为：

其中 n 下标表示中子星，s 下标代表太阳。张朝阳假设恒星内核的旋转速度不依赖于质量，因此使用太阳内核的旋转速度作为中子星形成前的旋转速度。根据目前天体物理对中子星密度的估值，张朝阳使用 5×10^14 g / cm^3 作为中子星中心密度，代入数值可以得到中子星旋转角速度约为太阳内核旋转角速度的 10^9 倍。这是一个非常强的放大效应。

接着，张朝阳展示了太阳内部各处的旋转频率：

(张朝阳展示的太阳内部各处旋转频率)

其中核心的旋转频率约为 400×10^(-9) Hz，因此可以推算得到中子星的旋转频率为 400Hz，也就是每秒转 400 圈。考虑到中子星存在两个磁极，也就是两个发射脉冲的方向，从而中子星每秒脉冲约 800 下。“中子星的脉冲频率在毫秒量级”。这些估算结果与目前的天文观测值比较接近。

(张朝阳估算中子星的旋转频率)

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