设想你正驾驶飞机执行秘密任务。你要如何才能尽量避免被地面上的敌人用雷达发现呢？这是个被数学家，行业专家以及国防科学技术实验室（DSTL）成员在近期一次会议中共同讨论的问题。工作组用精密的数学给出了这一棘手的现实问题的解决方案，而大概的想法是受到了一些基础几何学的启发产生的。这正是本文想分享的内容。
基本规则
让我们考虑下面的这种略微简化的情况。设想一个包含发射台（transmitter）的雷达系统，其中发射台可以发送短促的向四面八方传播的雷达脉冲。这种脉冲被称为声脉冲。雷达系统还包含着多个可以探测声脉冲的接收台（receivers）。每一个接收台都知道距离发射台有多远，以及知道发射台发出声脉冲的准确时间。
现在想象你所驾驶的飞机在发射台和接收台的探测范围内。当雷达脉冲碰到飞机后会向许多不同的方向散射。如果一个接收台在反射的声脉冲的传播路径上，它就会监测到这个声脉冲。由于相较直接传播到接收台的声脉冲，经过反射到达接收台的声脉冲所走过的路程更远，后者自然更晚到达接收台，接收台因此可以分辨出哪一个是经过反射到达的信号。而反射的声脉冲所走过的总路程正是发射台和飞机距离加上接收台和飞机距离。
你驾驶的飞机在天上，而雷达系统在地上，因此我们面对的是一个三维空间中的问题。为了简化该问题，我们假设只在二维空间考虑这一问题。这意味着你驾驶的飞机也在地面上飞！当然实际情况不会是这样，但是这种简化并不会影响我们想解决的问题。我们可以将这一情形推广回三维，这将在下一节的最后实现。
它们如何定位你
现在想象一个接收台探测到了经一个物体反射后的声脉冲。声脉冲是以光速 c，即每秒 30 万千米的速度运动的。之所以是这样，因为雷达发射的无线电波本质上与可见光一样，都是一种电磁辐射，所以都以光速行进。
由于接收台知道发射台发出信号的准确时间，只需查看是何时收到的信号就可以算出声脉冲传播了多久。
用传播时间 t 乘以传播速度 c 就得到了声脉冲的传播距离 d，即
而在前面已经解释过，这个距离 d 等于发射台与物体距离和接收台与物体距离之和。
这意味着该物体（比如你驾驶的飞机）可能在的位置需要满足这样的条件：到发射台和接收台的距离之和为 d。早在雷达被发明以前，古希腊人就知道这些可能的位置组成的图形（在二维情况下）是一个椭圆。
下面介绍一下数学上对于椭圆的定义。在二维平面中给定两个点 T 和 R，再给定一个距离 d，该距离 d 应大于 T 和 R 的间距。那么，所有与 T 和 R 的距离之和为 d 的点就构成了一个椭圆。而 T 和 R 这两个点称为椭圆的焦点。
在我们的例子中，点 T 和 R 就相当于接收台和发射台的位置。因此接收台知道反射了声脉冲的物体就在一个椭圆上的某处，而椭圆的焦点就是接收台以及发射台所在的位置。如果在所关心的区域内建立坐标系，接收台可以写出描述这一椭圆的方程式。于是它就可以知道椭圆上每一个点的准确位置，即物体可能在的每一个位置。
现在想象有另一个接收台也探测到了信号声脉冲的反射波。与第一个接收台的情况一样，它知道物体就在以自己所在位置以及发射台位置为焦点的椭圆上。我们现在知道了两个不同的椭圆，且物体必然同时位于这两个椭圆上，这意味着物体必须在两个椭圆相交的位置上。一般来说，两个椭圆可以相交于四个点（可以想象两个椭圆像十字一样交叉）。然而，在我们的实际例子中两个椭圆共用一个焦点，它们最多会相交于两个点。你可以用软件作图或者数学推演的方法确认这一点。
这样一来，物体可能存在的位置就被锁定在最多两个点上：即两个椭圆的交点处。
以此类推，如果有第三个接收台探测到反射波，就可以最终确定物体的位置。第三个接收台会引入与前两个不同的第三个椭圆，而发射台仍处在该椭圆的一个焦点处。这个被定位的物体必须处在所有的三个椭圆上 —— 而平面上这样的点只会有一个，至少只要第三个反射脉冲与前两个传播距离都不同的情况下一定是这样。如果每一个接收台都将各自推断出的椭圆方程发送给一个控制中心，那么控制中心就可以计算出这个点的位置。实际上，电脑可以在一瞬间计算出这个位置。
我们刚刚说明了，在二维情况下，只要有三个敌人的接收台收到了从你的飞机反射出去的声脉冲，他们就可以确定你的位置。如果敌方有足够多合理排布的接收台，那么任何飞过附近区域的物体反射的声脉冲都会被足够多的接收台探测到，这也就意味着无论如何你都会被发现。
在我们进入到下面的关于如何蒙蔽敌人的环节前，简要提一下如何将上述情节推广到三维。在三维情况下，一个接收到反射信号的接收台可以推断该物体处在一个椭球面上 —— 这是一个三维版本的椭圆，将椭圆绕其连接两个焦点的长轴旋转就可以得到椭球面。此时所面对的数学运算更复杂了，但是通常来讲四个相交的椭球，即对应四个接收台就可以精确定位飞机的位置。
你如何蒙蔽敌人
一种在敌人面前隐藏自己的方法就是在你的飞机表面附上一层显著吸收雷达声脉冲而只反射很少部分的材料，这样一来，反射的部分就不足以让接收台监测到。但是，即使你没有这样的特殊材料，你也可以蒙蔽敌人，
设想你可以探测到并记录来自发射台的雷达声脉冲。你可以在一定延迟后重新广播这一信号。这样一来你的敌人会定位到两个你，且处在截然不同的位置上。这可以在某种程度上避免被捕捉到：如果敌人决定跟踪你，他们需要在你和你的虚构出的映像之间分配资源。
在会议的讨论中，数学家们展示了你可以更进一步。刚刚我们忽略的一点是，驾驶飞机的你其实是在移动的。为了确认一个移动物体的轨迹，你的敌人可能发送重复的声脉冲。这将使他们可以对于你的去向做出预测并试图拦截你。
数学家们表示（假定你以匀速朝着确定方向前进时）你可以调节你延迟发射信号的时间让接收台认为第二个物体以与你的飞机截然不同的轨迹在行进。通过发送几组延迟信号，你甚至可以让他们认为有多个物体，每一个都朝着不同的方向前进，这将严重迷惑你的敌人，减少你被捕捉的可能性。
超越基础知识的考虑
数学家们在会上所用到的数学比我们提到的更加精密。至关重要的是，数学家们考虑到了现实中总会出现的不确定性。例如，由于接收台无法 100% 准确地测量反射信号的飞行时间，所以他们无法 100% 准确地定位一个物体。此外，电磁辐射从飞机这样复杂的物体处的散射和吸收行为也会带来误差，这些都会引入不确定性。
数学家们假定，为了应对不确定性，敌人将对于接收到的信号进行统计分析以得出所探测物体最可能的位置或者轨迹。这样的分析是基于贝叶斯理论进行的。该理论使你可以基于新证据（如反射的信号）以及你已知的信息（如你认为刚刚飞机在哪里）来推测某件事情（例如飞机当前在哪里）发生的几率。
现代通信的背景下，每个国家都需要在空间、天空、陆地、海洋和网络等多个领域有效运作。在我们关于雷达的例子中，这种操作使用的是电磁波谱。问题是，由于民用和军事对电磁波谱的需求持续增长 (例如对于 5G 的需求)，我们的“电磁环境”变得越来越拥挤且有竞争。而上面提到的会议正是为了寻求将新的数学应用于这一问题引起的挑战而进行的活动之一。
很有趣的是，尽管我们考虑的问题十分复杂，我们依然可以从 2000 多年前就知道的基础数学中获得解决问题的灵感。
作者：Marianne Freiberger
翻译：云开叶落
审校：利有攸往
本文来自微信公众号：中科院物理所 （ID：cas-iop），作者：Freiberger
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