圆周率 π 是一个无理数，它的小数部分无限不循环，也就是说，它不能用两个整数的比来表示。我们常用 3.14 或 22/7 来近似表示 π，但这些都只是近似值，而非精确值。那么，在其他的宇宙中，π 是否也有这样的值呢？如果某个宇宙里，π 不是 3.14…，那么这个宇宙跟我们现在的宇宙有哪些不同呢？

要回答这个问题，我们首先要明确什么是圆周率。圆周率的定义是一个圆的周长与直径之比。也就是说，在一个平直的空间中，任何一个圆都满足 C=2πr（C 为周长，r 为半径）。这个定义看起来很简单，但其实隐藏了一个重要的假设：空间是欧几里得空间。

欧几里得空间是指满足欧几里得公理系统的空间。欧几里得公理系统包括五条基本公理和一些推论定理。其中最重要的一条公理就是平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与之平行。

欧几里得空间可以看作我们日常生活中所处的空间模型。在欧几里得空间中，三角形内角和为 180 度、正方形对角线相等、圆内接四边形对角和为 180 度等等都成立。而圆周率也恰好符合我们对圆形性质的预期：无论圆多大多小、放在哪里、怎么旋转或变换位置，其周长与直径之比都保持恒定。

但是，并非所有可能存在的空间都是欧几里得空间。事实上，在 19 世纪以前，人们曾经认为只有欧几里得空间才能符合逻辑和自然法则。但随着数学和物理学的发展，人们逐渐发现了非欧几里得空间。

非欧几里得空间指不满足欧几里得公理系统中某些公理（尤其是平行公理）的空间。例如，在球面上画图形时就会发现很多奇怪现象：三角形内角和大于 180 度、最短路径不再沿着直线走等等。

那么，在非欧几里得空间中，圆周率还会保持恒定吗？答案是否定的。在非欧几里得空间中，圆周率不再是一个恒定的常数，而是一个变量，它取决于圆的大小和位置。为什么会这样呢？原因在于，在非欧几里得空间中，空间本身是弯曲的。这意味着，在不同的地方，距离、角度、面积等都有不同的测量方法和结果。

那么在球面上，圆周率又是多少呢？答案是没有一个确定的值。因为在球面上，圆周率取决于圆的大小。如果我们画一个很小的圆（相对于球面半径），那么它看起来就像平面上的圆一样，其周长与直径之比接近于 3.14…；但如果我们画一个很大的圆（接近于半个球面），那么它看起来就像一条直线一样，其周长与直径之比接近于 1。

更一般地说，在任何非欧几里得空间中，如果我们画一个很小的圆（相对于空间曲率），那么它看起来就像平面上的圆一样，其周长与直径之比接近于 π；但如果我们画一个很大的圆（相对于空间曲率），那么它看起来就不像平面上的圆一样，其周长与直径之比就会偏离 π。

那么，在非欧几里得空间中，圆周率是如何计算的呢？一种方法是使用所谓的高斯-博内定理。这个定理告诉我们，在任何曲面上，一个小区域的高斯曲率与该区域内三角形内角和与 180 度之差成正比。换句话说，如果我们在一个曲面上画一个小圆，并在圆内划分若干个三角形，那么这些三角形内角和与 180 度之差就可以反映出这个圆周率与 π 之差。

本文来自微信公众号：万象经验 （ID：UR4351），作者：Eugene Wang

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