作者：蔡天新，浙江大学数学系教授
春秋战国时，河南商丘是宋国都城，也是孔子祖籍。跟儒家分庭抗礼的道家有两个重要人物老子和庄子，其中庄子也是宋国人。还有一位就和数学相关的墨子，他也是宋国商丘人。名家惠施，也被称为惠子，我认为他们是在中国古代那么多哲学家里面，科学水准最高的两位，“名人名家”就是以惠子命名的。
古希腊也是英才辈出，就像我们春秋战国一样，哲学家、科学家很多。古罗马的国力非常强盛，疆域非常广泛，甚至英格兰都被它征服了，但是古罗马留给我们的文明尚且不如古希腊多。
在我眼里“天才”应该是杰出的意思。按照历史学家的观点，17世纪在历史上是“路易十四世纪”，路易十四是法兰西的太阳王，在他当政的时候，法国成为世界的一流强国。但是在哲学家看来，17世纪是科学人才辈出的一个世纪，英国哲学家怀特海称这段时间为“天才的世纪”。这个世纪的科学家不一定有18世纪那么多，但是重量级的人物特别多，而且其中有一半是横跨文理两大领域的。
大致上有九个人物，其中后面五个人物，完全是17世纪的科学家。前面四位中第一位是一半的学术生涯在17世纪，一半的学术生涯在16世纪后。从开普勒、伽利略到笛卡尔，这三个人出生在16世纪，但他们的主要学术生涯全部都在17世纪，所以我想他们也代表了17世纪。
怀特海在著作《科学与近代世界》中说，直到1500年，欧洲人了解的科学知识尚且不如在公元前212年去世的阿基米德多，但到了1700年，牛顿完成巨著《自然科学的哲学原理》，整个世界进入了崭新的现代。
这200年间欧洲发生了突变。现在我们要说的是后100年，因为前100年其实并没有多少竞争，16世纪结束的那一年发生了一件大事，布鲁诺在罗马的鲜花广场被活活烧死，布鲁诺并不是一个大科学家，他是一个科学的宣扬者，他宣扬哥白尼的学说，为什么哥白尼平安无事，反而布鲁诺获罪？因为哥白尼提出日心说以后就回到他的老家波兰，没引起多少人的关注，在老家终老。波兰当时是一个远离科学中心的国家，所以没人知道在科学上是他提出了日心说，因此他就相对平安的度过了他的余生。
意大利文艺复兴
意大利的文艺复兴是17世纪以前几百年的事情，艺术家不是突然爆发出来的，追根溯源，回到古希腊的毕达哥拉斯和柏拉图，他们开创的那些数学传统被亚里斯多德的光芒盖过去了，而亚里士多德本人对数学并不是特别的重视。
亚里士多德的“三段论”
毕达哥拉斯最有名的一句话，“万物皆数”。由此可见，他非常重视数学。亚里士多德依赖于生物学，这个生物学跟现在的生物学还是不一样，那时候还是处于萌芽状态的生物学。举个例子，毕达哥拉斯定理，中国叫勾股定理，实际上它是用一句诗歌来表达的，“斜边的平方，如果我没有弄错，等于其他两边的平方之和”。
柏拉图继承了毕达哥拉斯的衣钵，其实三句话来概括，就可以看出来他非常钟情于数学。第一句话他说“数学是善”；第二句话是放在了柏拉图学院的门口，“不懂几何学的人请勿入内”，也就是说你不懂数学的话，就不要到我这念书了；第三句话非常的粗鲁，他说“不懂得数学在探求真理方面的重要性的人，就像猪一般”，意思是你必须要用到数学，否则的话你就像猪一样。这句话出现在柏拉图最后一本著作《法律篇》。
亚里士多德最有名的是“三段论”，三段论听起来好像是有点道理，但是仔细看看可能是强词夺理的。20世纪的时候哲学家罗素评价他，“笔下尽是一些枯燥乏味的教科书”，而柏拉图却是“写下了扣人心弦的教科书”。罗素是比较欣赏毕达哥拉斯和柏拉图的。
到文艺复兴的时候，亚里士多德去世都有差不多一千年了，但是他的哲学、思想一直统治着整个欧洲。艺术家们开始觉得不对劲了，因为在亚里士多德这种哲学体系下，他们艺术创造都受到一点压制，因此他们要重新从数字结构里面去寻找。毕达哥拉斯把数学家比喻为至高无上的上帝，以此表明他们对数学的信赖。
艺术家是如何重视数学的
伯鲁乃列斯基
佛罗伦萨最显赫最耀眼的一个建筑就是佛罗伦萨大教堂，就是500年前伯鲁乃列斯基设计的，现在它也是佛罗伦萨的制高点。比他晚一辈的人里面有个人叫阿尔贝蒂，这个人本身是个雕刻家，但是对数学非常有研究，他就画了这么一幅图，这个方法最初昭示于伯鲁乃列斯基时期，但是阿尔贝蒂把它提高到比较通俗易懂的一步。
数学投影
上图右边是画家的眼睛，左边的是一个像三潭映月一样的坛子。他用了一个技巧，就是用玻璃平板放在中间，放个方格纸隔好，然后自己的画布上也放个方格纸。因为玻璃平板放在中央，它就有个轮廓出现，就是坛子的投影，他就依样画葫芦的画下来，这个方法就是阿尔贝蒂和伯鲁乃列斯基创造的一个数学投影的方法。
几十年后，一个叫丢勒的德国画家，去旅行到意大利的时候，从阿尔贝蒂那里学到这个方法，这个方法叫做perspective principle，透视原理。下图是丢勒的自画像。
丢勒
到现在为止，他依然是德国最伟大的画家。他画的另一幅作品叫《忧郁》，右边坐着一个穿着裙子的少女，眼神有点迷惘，左边他用几何图案来表达迷惘的主题，我们特别关注的是右上角，右上角有一个窗子一样的正方形，它写着16个阿拉伯数字，每行、每列、对角线四个数字加起来都是34，甚至在角落上这四个数字加起来也是34，在四个角，这四个数字16、13、1、4加起来也是34，甚至9、15，加上那边的2、8，构成一个平行四边形，2加8是10，9加15是24，加起来也是34，完美的四个数字加起来都是34。在数学里这个叫幻方：Magic Square，是丢勒本人发明的。
所以除了继承了意大利的传统以外，他还有自己的数字的发现把它放到绘画里面去，增加了这幅画的神秘感，使得这幅画的流传到世界各地，进入了绘画史，而且它最后一行的中间两个数字15、14，正好是画这幅画的年份。实际上那一年他亲爱的母亲去世了，他为了表达他的哀悼之情，就画了这幅画。这是欧洲艺术史上的一幅杰作，他用了一个数字的概念、数字的奥秘，实现了这个目标。这也是在当时文艺复兴对数字的重新召唤，但是有点小遗憾，比如说中间这四个数字加在一起，它只有30不到34。
忧郁
幻方
在印度的一个偏僻的乡下，离新德里300多公里的克久拉霍寺庙里面，墙上有这么一个东西，翻译成现代的阿拉伯数字。中间刚才这个位置，2、13、16、3加起来也是34。这个是历史上全世界唯一一个十全十美的幻方，是印度人发明的，但它不是绘画，只是一个幻方。前几年世界联合国教科文组织把这个寺庙所在的地方，选入世界文化遗产，跟这个幻方有很大关系。
上面这张照片是法兰克福机场两个航站楼之间的通道，看不出有什么数学的东西，地砖上有很多平行线，头上天花板上也有很多平行线，两侧的电梯的扶手也是平行线。这些平行线在三维空间里都是平行的，但是拍成照片以后，已经不再平行，不仅不平行，而且所有的平行线都是从中间的某一点延伸出来的，这是19世纪发明的照像技术告诉我们的，但在500年前意大利文艺复兴的时候，画家就非常具有数学观点。那时候根本没有照相机的概念，但是他们已经从自己的眼睛、从他们的数学知识里面就发现了这一点。
假如油画里有家具和天花板，肯定有平行线的，比如下图是个家具，里面有平行线，这个黄色的线条，它画在画上以后，一定要让所有的黄色线条相交于同一点，这样就完美了。画成以后要把黄色的线条，包括焦点也擦掉，所以英文里叫vanishing point，没影点加上透视原理，是古典油画里面非常重要的技巧，就来源于文艺复兴的画家们，来源于那个时候他们对数学、对柏拉图、对亚里士多德数学重新唤起的热情而实现的。
这就是文艺复兴时期受益于数学的例子，然后又有后来的达芬奇。达芬奇是个私生子，小时候没有机会接受好的教育，他做学徒工，做到30多岁的时候，经济条件改善了，才有机会自学几何学，同时加以研究。
到四十七八岁的时候，他就画出了那幅有名的画——《最后的晚餐》。又过了20年，已经是垂垂老矣，六十七八岁的时候，他画出了《蒙娜丽莎》。所以从他的经历可以看出，30多岁的时候他对几何学的研究，对他后来成为一个伟大的画家是很重要的。文艺复兴可以说是艺术非常辉煌的时代。
文艺复兴的另外一个意义是打通了文理，为17世纪的科学的大踏步前进奠定了基础。达芬奇文理双全，但他的理科水准，按照李约瑟的话讲，还是业余水平。
伽利略提出的自由落体运动，理论基础就是因为他的前辈，那些艺术家们已经把亚里士多德权威形象降低了。本来亚里士多德认为物体都不动的，那么伽利略敢于否定，提出自由落体运动，是因为当时的艺术氛围为主，当时艺术家们已经不是那么崇拜亚里士多德了。
开普勒，他比伽利略小十几岁，他本来是个文学硕士，在一个中学里教书，但是有一天脑子里突然被毕达哥拉斯和柏拉图的“数学和谐”的信念所影响，因为这两位前辈说世界万物都是“数学和谐”的，因此他就想行星轨迹也应该以某种数学的图案出现。在这个信念之下，他在17世纪的前20年提出“三大行星定律”。
三大行星定律，每个定律都是跟数学方程式有关系。在17世纪第一年，中国正好处在明朝万历年间，在那个时候明朝的“四大名著”有三部，还有哲学家，还有就是徐光启和利玛窦引进了《几何原本》，但总体来说中国的那个时候，没有像文艺复兴运动做了那么好的准备。
17世纪的科学
17世纪的科学，它到底好在哪个地方，天才表现在哪个地方？培根是开创先河的哲学家，他著有《学术的进展》，“知识就是力量”就是他提出来的。塞万提斯的小说《唐吉可德》，也被认为是最伟大的长篇小说。莎士比亚的《哈姆雷特》到目前为止被认为是最重要的巨著。哈维的血液循环理论，到现在也是医学里面最重要的一个理论。
再来看看笛卡尔——近代哲学之父，除了数学上的解析几何等发明以外，他的两部最重要的哲学著作就在1642年前后发表的。怀德海说说“这个世纪可以说是时间不够，没法把天才人物的重大事件摆布开来”。
除了刚才几件事情以外，还有吉尔伯特、化学的玻意耳、惠更斯的光学，都是在17世纪取得进展的。墨子擅长的光学和数学有关系，除了光的波动和钟表的摆动以外，还有惠更斯原理在数学上，有一个进入中学课本的叫“数学期望”，也是他定义的。
17世纪的数学家我列举出了五个：笛卡尔、费尔马、帕斯卡尔、牛顿、莱布尼兹。其中前面三位是法国人，后面两个分别是英国人和德国人。
费尔马，业余数学家之王，利用业余时间做数学，最后却成为大数学家，他的成就有“费尔马原理”，但因他不爱发表文章，所以解析几何的发明权就归笛卡尔了，微分学归牛顿和莱布尼茨了。但这些成果实际上他自己在笔记本上也做出来了。下图最重要也最有名的“费尔马大定理”，十多年前被英国剑桥大学怀尔斯教授解决了。“费尔马大定理”有两个非常著名的推广，到现在还没证明。
笛卡尔不仅是一位大数学家，同时还是个大哲学家。我们知道a，b，c是已知数，x，y，z是未知数，这就是笛卡尔建议规定的。这个方法一直沿用到今天，包括物理学等其他科学里面，也都是用这个手段，是笛卡尔建议的。
笛卡尔
另外，笛卡尔比哥德巴赫早100年前，就已经把“哥德巴赫猜想”写在笔记本上，只不过他也不太愿意出版，所以后来就叫“哥德巴赫猜想”。他主要的数学灵感，就是发现解析几何，而发现坐标系的灵感却是在睡懒觉的时候产生的。他睡懒觉时看见天花板上苍蝇在爬，他想：“把苍蝇的运动轨迹给描绘出来该多棒”，怎么描绘呢？他就想了一个方法，建立X轴、y轴，每个点有个横坐标和纵坐标，不过这个事迹是传说的。
他睡懒觉的地点叫乌尔姆，在德国最南部的两个州，巴登-福腾堡和巴伐利亚中间。200年以后，乌尔姆小镇上诞生了一位非常有名的科学家：爱因斯坦。
笛卡尔的二元论的想法，也是从乌尔姆发明的坐标系来的。笛卡尔之前的哲学家，无论是毕达哥拉斯还是其他人，都认为万物是由一样事情组成的。比如有人认为万物是由水组成的，有人认为万物由空气、由泥巴组成的。毕达哥拉斯说万物都是数，但到了笛卡尔，他认为坐标系有两个，为什么万物只有一样事情，便提出了著名的二元论。
帕斯卡尔定义了气压单位。17世纪的法国，巴黎已经是世界著名的城市，但是交通却是个问题。那时交通没有汽车，只有马车，而马车只是贵族才有，普通老百姓要从城东赶到城西，走路太辛苦了，然后帕斯卡尔建议建立公共马车，他向巴黎市政府建议，成立一个公共马车服务公司来操作这件事情。这就是我们今天每一座城市公共汽车服务公司、出租车服务公司的雏形。
牛顿
莱布尼茨
莱布尼茨是个数学家，同时也是物理学家和哲学家。1673年，他发明了级数，因此英国聘请他为皇家学会外籍会员。当时英国跟德国一样，科学水平都不高，远远不如法国。而莱布尼茨在法国发明的微积分，结果法国反而不给他外籍院士的头衔，由此也可以看出当时法国处在领先的地位。
17世纪的哲学
借着文艺复兴的力量，科学大步前进。但科学要想持久发展，人文方面必须得跟上去，正好17世纪的这几位科学家就做了杰出的贡献。最突出的是笛卡尔、帕斯卡尔、莱布尼茨。
“知识就是力量”，“读诗使人灵秀”等，这些都是培根说过比较有名的话。他提出了归纳法，彻底打败了亚里士多德的“三段论”。
达尔文发明生物学时，归纳法发挥了特别重要的作用。值得一提的是，达尔文并不是个好学生，上课的时候经常打瞌睡，所以在三一学院的塑像群里面，他在牛顿前面打瞌睡，所以大家把他塑造成下图这样。
达尔文
霍布斯在这些科学家中知名度不是特别高，他最有名的著作叫《利维坦》，他最有名的一句话“一切推理皆为计算”，而这句话导致了莱布尼茨发明了乘法计算器。
霍布斯
霍布斯说：“如果物质的东西和它们的所有部分始终处于静止或永远作同一运动，那么世界万物就不会有所区别。因此，万物的各不相同必定是由于有多种多样的运动”。霍布斯、笛卡尔、帕斯卡尔，他们年轻的时候都从事科学研究，但是到了年长以后，他们把经历转移到对哲学、对思想的探索上去，出版了这些代表作，对后辈们继续从事科学事业，作用非常大。
帕斯卡尔除是哲学家、科学家以外，他还是个信徒。他说：“如果上帝不存在，那么你相信他也不会失去什么；而上帝如果存在，你相信他就可以获得永生”。这句话是我比较欣赏的他关于宗教的一句话。帕斯卡尔跟笛卡尔他们两人之所以到晚年都能够持续的创造，更多的依赖于他们的怀疑主义，其中帕斯卡尔是比较温和的怀疑主义者，而笛卡尔是一个彻头彻尾的怀疑主义者，对世界万物他首先要质疑，然后才能进行探究，最后才能有所发现。我想这也是我们的科学精神。
斯宾诺莎
斯宾诺莎有一个最有名的著作《伦理学》，是按照欧几里得的几何方法演绎产生的。洛克的代表作叫《人类理智论》，他认为人的所有知识都建立在经验的基础之上，他曾经说“知识来源于经验，而宗教和道德像数学一样可以予以证明”，他很多著作里面用了好多抽象的，类似于数学概念的东西来表达。这也是受到文艺复兴遗风的影响，很多哲学的表达方式就倾向于用数理的方法来表达。
洛克
17世纪末，数学作为一种可以应用到基本物理问题的工具，已达到了成熟，所以在18世纪，数学给物理学家、应用数学家提供了一个施展才华的机会。17世纪的科学和哲学，可以说非常好地完成了使命。
怀特海曾说：“世界历史的每一个时代，都有富于头脑的人在孜孜不倦地致力于建立普遍性的原则。大学的主要责任，包括学术，主要责任就是继承这种传统，作为一种文化遗产而广泛传播，使之流芳百世。”这句话值得我们去深刻理会。
如果把文艺复兴的艺术跟唐朝诗歌相比，它们各有千秋，都很辉煌。唐朝诗歌在世界上的地位是非常高。李白、杜甫有很多的外国诗人粉丝。
那么它们的差别在哪里？唐以后的两宋，有很多技术上的革新，四大文明中的三个是在宋朝以后完成革新的。文艺复兴以后的17世纪的欧洲，则是天才辈出，群星璀璨的世纪。一个是技术上取得很大的进展，另外一个在理论包括人才方面，包括可持续方面，群星璀璨，天才辈出，还是有差距的。我认为原因是唐朝只是诗歌的发展，并没有注意文理交融。而文艺复兴时，科技包括数学跟艺术结合得非常好，对后续发展非常重要的。这个差别对今后的发展是值得参考的。
刚刚过去的诺贝尔奖，大家都在感叹日本人的成就，我想中国需要一个更好的人文环境，但并不是说让科学家去做人文，我觉得一个好的人文环境可以让科学家看问题更为深远，可以更全身心地投入到工作中去，能培养更多更优秀的人才。
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